Topoloji/Süzgeçler

Süzgeç Tanımı

Tanım: Aşağıdaki koşulları sağlayan bir $s\subset {\mathcal {P}}(X)\$ ailesine X kümesi üzerinde bir süzgeç adı verilir.

(i)  $s\neq \varnothing \$ ve $\varnothing \notin s\$

(ii)  $A\in s\$ ve $B\in s\$ ise $A\cap B\in s\$

(iii) $A\in s\$ ve $A\subset B\$ ise $B\in s\$

$\$

Buna göre bir küme üzerinde bir süzgeç, aynen bir topoloji gibi o kümenin alt kümelerinin belirli özellikleri sağlayan bir ailesidir. Bir küme üzerindeki süzgeçler, bu kümenin noktalarına benzer özellikler gösterdiğinden burada, süzgeçlerin küçük harflerle gösterilmesi uygun görüldü.

Yukarıdaki tanımın ilk aksiyomuna göre bir $X\$ kümesi üzerindeki bir süzgeç, bir topolojinin aksine $\varnothing \$'yi içermez. Süzgecin kendisi de boş olamaz, yani $X\$'in en az bir alt kümesini içerir. İkinci aksiyoma göre bir süzgeçteki herhangi iki kümenin kesişimi yine bu süzgeçtedir. Bu yönüyle süzgeçler topolojilerle benzerlik gösterir. Son aksiyom ise bir süzgeçte bulunan herhangi bir kümenin bütün üst kümelerinin o süzgece ait olduğunu söyler. Bu üç özelliğin, bir topolojik uzayda bir noktanın komşuluklarının sağladığı özelliklere oldukça yakın olduklarını gözlemleyebiliriz.

Şimdi süzgeçlerle noktalar arasındaki bağlantıyı daha zarif bir biçimde görmemizi ve süzgeç kavramının işleyişini daha güzel anlamamızı sağlayacak bir gösterim tanımlayacağız.

Tanım : $x\$ herhangi bir nesne, $A\$ bir küme olmak üzere $\ni \$ bağıntısı

$A\ni x:\iff x\in A$

kuralıyla tanımlanır ve bu durumda $A\$ ters elemanıdır $x\$ denir. Eğer $A\$ $x\$'in ters elemanı değilse $A\not \ni x\$ yazılır.

Öyleyse bir $A\$ kümesinin, bir $x\$ noktasının ters elemanı olması demek, o noktayı içermesi demektir yani burada aslında yeni tanımlanan bir kavram yoktur. Yalnızca $\ni \$ gösteriminin

$A\ni x\iff x\in A$

kuralıyla tanımlandığını bilmek yeterlidir ve aslında bu gösterimi kullanmanın tek nedeni, alışıldığı üzere elemanı kümeden önce yazmak yerine, sonra yazmak arzusudur.

Şimdi bu gösterimi kullanarak süzgeç olma koşullarını bir kez daha yazalım:

Bir $X\$ kümesinin alt kümelerinin aşağıdaki koşulları sağşayan boştan farklı bir ailesine X üzerinde bir süzgeç adı verilir.

(i)  $s\not \ni \varnothing \$

(ii)  $s\ni A\$  ve  $s\ni B\$  ise  $s\ni A\cap B\$

(iii)   $s\ni A\subset B\$  ise  $s\ni B\$

$\ni \$ sembolünü, $\in \$ sembolüne benzermiş gibi düşündüğümüzde bir süzgecin bir noktanın sağladığı özellikleri sağladığını görürüz. Böylece süzgeçleri artık noktalar gibi düşünüp öyle işlem yapacağız ancak bir yandan da aslında küme aileleri olduklarını unutmayacağız. Elbette bir $X\$ kümesindeki her nokta yukarıdaki üç koşulu sağlar. Bu, X'in her noktasının bir süzgeç olduğu beklentisine neden olur ki, gerçek de böyledir. Ancak süzgeçler noktaların sahip oldukları her ayrıcalığa sahip olamayabilirler.

Bu bölümde süzgeçlere oranla sıradan noktalara çok daha fazla benzerlik gösteren aşkın süzgeçleri de ele alacağız ve aslında kümelerin bir ailesi olup da noktaymış gibi davranış gösteren süzgeçlerin üstüne bir de diziler gibi yakınsama yapan nesneler olduklarını, üstelik bunu dizilerden çok daha iyi başardıklarını göreceğiz. Durum böyleyken, süzgeçlerin topolojide ne denli önemli yerleri olabileceğini tahmin edebilirsiniz. Süzgeçlerin kullanımı birçok önemli teoremin ispatını kaydadeğer biçimde kolaylaştırmaktadır ve süzgeçler yardımıyla topoloji kavramı

$\$