Topoloji/Kapanış

Küme İşlemleri ve Kapanış

Bu alt bölümde verilen lemmaların her birinde $X\$ bir topolojik uzayı, $A\$ ve $B\$, $X\$'in iki alt kümesini göstermektedir. Büyük kesişim ve birleşimler $\alpha \in J\$'ler üzerinden alınmaktadır.

Lemma : $A\subset B\$ ise ${\bar {A}}\subset {\bar {B}}$ .

İspat : Her zaman $B\subset {\bar {B}}\$ olduğunu biliyoruz. $A\subset B\$ olduğundan $A\subset {\bar {B}}\$ 'dir. ${\bar {A}}\$, $A\$ 'yı kapsayan bütün kapalı kümelerin kesişimi, ${\bar {B}}\$ da $A\$ 'yı içeren kapalı kümelerden biri olduğundan ${\bar {A}}\subset {\bar {B}}\$ . ■

Lemma : ${\overline {A\cup B}}={\bar {A}}\cup {\bar {B}}$ .

İspat : $A\subset A\cup B\$, $B\subset A\cup B\$ olduğundan ${\bar {A}}\subset {\overline {A\cup B}}$ ve ${\bar {B}}\subset {\overline {A\cup B}}$ $\Rightarrow \$ ${\bar {A}}\cup {\bar {B}}\subset {\overline {A\cup B}}$ .......(i)

Diğer taraftan $A\subset {\bar {A}}\$, $B\subset {bar}{B}\$ olduğundan $A\cup B\subset {\bar {A}}\cup {\bar {B}}\$. İki kapalı kümenin birleşimi kapalı olduğundan ${\bar {A}}\cup {\bar {B}}\$, $A\cup B\$ kümesini kapsayan bir kapalı kümedir ve dolayısıyla $A\cup B\subset {\overline {A\cup B}}\subset {\bar {A}}\cup {\bar {B}}\$ .......(ii)

(i) ve (ii)'den ${\overline {A\cup B}}={\bar {A}}\cup {\bar {B}}</ma'''Lemma:'''<math>\{A_{\alpha }\}_{\alpha \in J}\$ $X\$ 'in alt kümelerinin bir ailesi ise ${\overline {\bigcup A_{\alpha }}}\supset \bigcup {\overline {A_{\alpha }}}\$ .

İspat : $\forall \alpha \in J\$ için $A_{\alpha }\subset \bigcup A_{\alpha }\$ olduğundan $\forall \alpha \in J\$ için ${\bar {A_{\alpha }}}\subset {\overline {\bigcup A_{\alpha }}}\$ $\$ $\Rightarrow \$ $\bigcup {\overline {A_{\alpha }}}\subset {\overline {\bigcup A_{\alpha }}}\$ ■

Sonsuz birleşimde eşitlik sağlanmayabilir.

Örnek : $\mathbb {R} \$'de alt kümelerin ${\mathcal {A}}=\{\{x\}|x\in \mathbb {Q} \}\$ ailesini ele alalım.

$\bigcup _{x\in \mathbb {Q} }{\overline {\{x\}}}=\bigcup _{x\in \mathbb {Q} }\{x\}=\mathbb {Q} \$

${\overline {\bigcup _{x\in \mathbb {Q} }\{x\}}}={\overline {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R} \$

Lemma : ${\overline {A\cap B}}\subset {\bar {A}}\cap {\bar {B}}$ .

İspat : $A\cap B\subset A\$, $A\cap B\subset B\$ olduğundan ${\overline {A\cap B}}\subset {\bar {A}}$ ve ${\overline {A\cap B}}\subset {\bar {B}}$ $\Rightarrow \$ ${\overline {A\cap B}}\subset {\bar {A}}\cap {\bar {B}}$ ■

Sonlu durumda birleşim için sağlanan eşitlik kesişim için sağlanmayabilir.

Örnek : $A=\mathbb {Q} \$, $B=\mathbb {Q} ^{c}\$ alalım. Bu durumda;

${\overline {\mathbb {Q} \cap \mathbb {Q} ^{c}}}\$ = ${\overline {\varnothing }}=\varnothing \$

${\overline {\mathbb {Q} }}\cap {\overline {\mathbb {Q} ^{c}}}\$ = $\mathbb {R} \cap \mathbb {R} =\mathbb {R} \$

Sonlu kesişimde görülen durumun aynısı sonsuz kesişim için de vardır. Sonsuz durumda, kesişim için sağlanan kapsamanın birleşim için sağlanan benzer kapsama ile ters yönlü olduğuna dikkat edilmelidir.

Lemma : $\{A_{\alpha }\}_{\alpha \in J}\$ $X\$ 'in alt kümelerinin bir ailesi ise ${\overline {\bigcap A_{\alpha }}}\subset \bigcap {\overline {A_{\alpha }}}\$ .

İspat : $\forall \alpha \in J\$ için $\bigcap A_{\alpha }\subset A_{\alpha }\$ olduğundan $\forall \alpha \in J\$ için ${\overline {\bigcap A_{\alpha }}}\subset {\overline {A_{\alpha }}}\$ $\$ $\Rightarrow \$ ${\overline {\bigcap A_{\alpha }}}\subset \bigcap {\overline {A_{\alpha }}}\$ ■

Şimdi eşitliğin sağlanmadığı bir örnek inceleyelim.

Örnek : $\mathbb {R} \$ üzerindeki alışılmış topolojide,

${\overline {\bigcap _{n\in \mathbb {N} }(0,{\tfrac {1}{n}})}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \$

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {(0,{\tfrac {1}{n}})}}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }[0,{\tfrac {1}{n}}]=\{0\}\neq \varnothing \$

$\$