Bu alt bölümde verilen lemmaların her birinde
bir topolojik uzayı,
ve
,
'in iki alt kümesini göstermektedir. Büyük kesişim ve birleşimler
'ler üzerinden alınmaktadır.
Lemma :
ise
.
İspat : Her zaman
olduğunu biliyoruz.
olduğundan
'dir.
,
'yı kapsayan bütün kapalı kümelerin kesişimi,
da
'yı içeren kapalı kümelerden biri olduğundan
. ■
Lemma :
.
İspat :
,
olduğundan
ve
.......(i)
Diğer taraftan
,
olduğundan
. İki kapalı kümenin birleşimi kapalı olduğundan
,
kümesini kapsayan bir kapalı kümedir ve dolayısıyla
.......(ii)
(i) ve (ii)'den
'in alt kümelerinin bir ailesi ise
.
İspat :
için
olduğundan
için
■
Sonsuz birleşimde eşitlik sağlanmayabilir.
Örnek :
'de alt kümelerin
ailesini ele alalım.
Lemma :
.
İspat :
,
olduğundan
ve
■
Sonlu durumda birleşim için sağlanan eşitlik kesişim için sağlanmayabilir.
Örnek :
,
alalım. Bu durumda;
=
=
Sonlu kesişimde görülen durumun aynısı sonsuz kesişim için de vardır. Sonsuz durumda, kesişim için sağlanan kapsamanın birleşim için sağlanan benzer kapsama ile ters yönlü olduğuna dikkat edilmelidir.
Lemma :
'in alt kümelerinin bir ailesi ise
.
İspat :
için
olduğundan
için
■
Şimdi eşitliğin sağlanmadığı bir örnek inceleyelim.
Örnek :
üzerindeki alışılmış topolojide,