Topoloji/Kapanış

Vikikitap, özgür kütüphane
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Küme İşlemleri ve Kapanış[değiştir]

Bu alt bölümde verilen lemmaların her birinde bir topolojik uzayı, ve , 'in iki alt kümesini göstermektedir. Büyük kesişim ve birleşimler 'ler üzerinden alınmaktadır.


Lemma : ise .

İspat : Her zaman olduğunu biliyoruz. olduğundan 'dir. , 'yı kapsayan bütün kapalı kümelerin kesişimi, da 'yı içeren kapalı kümelerden biri olduğundan . ■


Lemma : .

İspat : , olduğundan ve .......(i)

Diğer taraftan , olduğundan . İki kapalı kümenin birleşimi kapalı olduğundan , kümesini kapsayan bir kapalı kümedir ve dolayısıyla .......(ii)

(i) ve (ii)'den 'in alt kümelerinin bir ailesi ise .

İspat : için olduğundan için


Sonsuz birleşimde eşitlik sağlanmayabilir.


Örnek : 'de alt kümelerin ailesini ele alalım.


Lemma : .

İspat : , olduğundan ve


Sonlu durumda birleşim için sağlanan eşitlik kesişim için sağlanmayabilir.


Örnek : , alalım. Bu durumda;

=

=


Sonlu kesişimde görülen durumun aynısı sonsuz kesişim için de vardır. Sonsuz durumda, kesişim için sağlanan kapsamanın birleşim için sağlanan benzer kapsama ile ters yönlü olduğuna dikkat edilmelidir.


Lemma : 'in alt kümelerinin bir ailesi ise .

İspat : için olduğundan için


Şimdi eşitliğin sağlanmadığı bir örnek inceleyelim.


Örnek : üzerindeki alışılmış topolojide,