İçeriğe atla

Topoloji/Kapanış

Vikikitap, özgür kütüphane

Küme İşlemleri ve Kapanış

[değiştir]

Bu alt bölümde verilen lemmaların her birinde bir topolojik uzayı, ve , 'in iki alt kümesini göstermektedir. Büyük kesişim ve birleşimler 'ler üzerinden alınmaktadır.

Lemma : ise .

İspat : Her zaman olduğunu biliyoruz. olduğundan 'dir. , 'yı kapsayan bütün kapalı kümelerin kesişimi, da 'yı içeren kapalı kümelerden biri olduğundan . ■

Lemma : .

İspat : , olduğundan ve .......(i)

Diğer taraftan , olduğundan . İki kapalı kümenin birleşimi kapalı olduğundan , kümesini kapsayan bir kapalı kümedir ve dolayısıyla .......(ii)

(i) ve (ii)'den 'in alt kümelerinin bir ailesi ise .

İspat : için olduğundan için

Sonsuz birleşimde eşitlik sağlanmayabilir.

Örnek : 'de alt kümelerin ailesini ele alalım.

Lemma : .

İspat : , olduğundan ve

Sonlu durumda birleşim için sağlanan eşitlik kesişim için sağlanmayabilir.

Örnek : , alalım. Bu durumda;

=

=

Sonlu kesişimde görülen durumun aynısı sonsuz kesişim için de vardır. Sonsuz durumda, kesişim için sağlanan kapsamanın birleşim için sağlanan benzer kapsama ile ters yönlü olduğuna dikkat edilmelidir.

Lemma : 'in alt kümelerinin bir ailesi ise .

İspat : için olduğundan için

Şimdi eşitliğin sağlanmadığı bir örnek inceleyelim.

Örnek : üzerindeki alışılmış topolojide,