Topoloji/Kümeler

Küme kavramı, matematikle ilgisi olan herkes tarafından az çok bilinir. Bununla birlikte kümeyi matematiksel olarak tanımlamak hiç de kolay değildir. Bu sebeple genelde kümenin sözel tanımı ile yetinilir. İlk olarak bu tanımların bazılarını vereceğiz.

Küme Kavramı

Tanım : Küme, nesnelerin iyi tanımlı bir topluluğudur.

Tanım : Küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir.

Tanım : Küme, hangi nesneleri içerdiği tam olarak bilinen en basit matematiksel yapıdır.

Bu tanımların yanında yine belirli, ancak daha küçük varsayımlarda bulunarak kümenin matematiksel bir tanımını yapmak zor olmakla birlikte büyük oranda mümkündür. Önümüzdeki konuda, yalnızca genel bir bilgi olması açısından, bu tanımın nasıl yapıldığını söyleyeceğiz.

Küme Aksiyomları

Küme kavramının işleyişi ve özellikleri insan aklına oldukça yatkın olduğundan kümelerin net bir şekilde tanımlanmasına genelde ihtiyaç duyulmaz. Ancak dürüst olmak gerekirse kümenin matematiksel olarak tanımlanması gerekmektedir. Her ne kadar sezgisel olarak küme kavramı kolayca kavranabiliyor ise de, dikkatlice düşünen birinin aklında bazı soru işaretleri kalabilir. Örneğin kümelerin kesişimi ile ilgili birçok özelliği ispatlayabiliriz. Ancak $A\$ ve $B\$ kümeleri verildiğinde $A\cap B\$’nin de bir küme olacağını garanti edemedikten sonra, bu özellikleri ispatlamanın aslında bir anlamı yoktur. Veya hemen hemen her çalışmada kullanılan boş küme, gerçekten de var mıdır, varsa tek midir, gerçekten boş mudur, evrensel küme diye bir şey var mıdır? Bu soruların cevaplarının bulunabilmesi için kümenin mantık kurallarına bağlı kesin bir tanımının verilmesi gerekmektedir. Aşağıda bu tanımın nasıl yapıldığını göreceğiz, ancak bu kitabın seviyesini ve konusu aşacağı için kümeler ile ilgili gerçekleri bu tanım yardımıyla ispatlamaya çalışmayacağız.

Eğer mantık kurallarına matematiğin anayasası diyeceksek ki diyebiliriz, bir matematiksel yapının aksiyomatik sistemi o yapının kendine özgü yerel yasası olur. Örneğin bir problemde bize bir grup verildiğinde grubun cebirsel anlamda kapalı, birleşmeli, birim elemana ve her elemanı için bir ters elemana sahip bir küme-işlem ikilisi olduğunu kabul ederiz çünkü bir küme-işlem ikilisinden bir grup olarak bahsedilebilmesi için bu şartların sağlanması gerekmektedir. Bu yüzden bir grup verildiğinde bu şartların sağlandığı kesindir çünkü “grup olma yasası” bunu gerektirir. Bu yasanın ayrı ayrı maddelerine de grup aksiyomları adı veririz.

Yukarıdaki örneğe benzer şekilde, kümeler için de bir yasanın (aksiyomatik sistemin) bulunması gereklidir. Bu yasanın maddelerine (aksiyomlarına) küme aksiyomları adı verilecektir. Küme aksiyomları yalnızca kümelerin kendi doğasından dolayı sahip olması gereken özellikleri belirtir, bunlar yoluyla kümenin tanımını vermez, kümenin tanımı genelde bu aksiyomlardan ayrı yerde yapılır. Yine de küme tanımı da bu aksiyomlara eklenerek grup aksiyomlarına benzer şekilde, küme olmayı tam anlamıyla karakterize eden (belirleyen) bir aksiyomatik sistem oluşturulabilir.

Her ne kadar kümenin bilimsel tanımını verecek olsak da, burada açıkça tanımlamamız mümkün olmayan bazı kavramlar bulunmaktadır. Bunlardan ilki değişken veya sabitleri gösteren $x,y,z,A,B,\alpha ,\beta \$ gibi harflerdir. Aşağıdaki aksiyomları incelerken bilmemiz gereken, bu harflerin her birinin birer nesne olduğudur.

Bir ikili bağıntı, biri doğru biri yanlış olmak üzere iki farklı şekli bulunan ve herhangi iki nesnenin arasına bu şekillerinden yalnızca biri yerleştirilebilen bir semboldür. Bu kavramı, az sonra göreceğimiz eşittir ve elemanıdır ikili bağıntıları ile somutlaştırabiliriz.

Eşittir, tartışmasız matematikte en çok kullanılan ikili bağıntıdır. İkili bağıntı olduğu için eşittirin iki farklı şekli vardır. Doğru şekli $=\$, yanlış şekli de $\neq \$ ile gösterilir. Yine ikili bağıntı olmasından dolayı, her nesne ikilisinin arasına iki şeklinden yalnızca biri girmek zorundadır yani karşımıza çıkacak her $a\$ ve $b\$ nesne ikilisi için $a=b\$ veya $a\neq b\$ durumlarından yalnızca biri geçerlidir. Ayrıca eşittir ikili bağıntısı simetriktir yani $a=b\$ olması durumunda kesinlikle $b=a\$’dır. İki nesnenin eşit olması demek sezgisel olarak; onların arasında görünüş farkı bile olsa nitelik olarak hiç fark bulunmaması, onların özünde aynı şeye verilen iki farklı isim olmaları demektir. Örneğin, dış görünüşleri çok farklı olmasına rağmen $2\$ ile $1+1\$ ’in birbirine eşit olduğu kabul edilir çünkü bunlar aslında tek bir nesnenin, iki farklı adla yazımından başka bir şey değildir.

Kümelerle ilgili aksiyomları vermeden önce son olarak eşittirden farklı bir ikili bağıntının varlığını kabul edeceğiz. Bu bağıntıya elemanıdır adını vereceğiz ve olumlusunu $\in \$, olumsuzunu $\notin \$ ile göstereceğiz. Şimdilik elemanıdır hakkında, bir ikili bağıntı olduğundan başka hiçbir şey bilmiyoruz yani elimizde yalnızca, $a\$ ve $b\$ nesneleri verildiğinde ya $a\in b\$, ya da $a\notin b\$ olacağından başka bir bilgi yok. Bu durumda, eşittir ikili bağıntısından farklı olarak $a\in b\$ olması, $b\in a\$ olmasını gerektirmez; aksine, her ne kadar burada ispatlamayacak olsak da aslında $a\in b\$ ise mutlaka $b\notin a\$ olması gerekir, diğer taraftan $a\notin b\$ ise $b\$ ile $a\$ arasına elemanıdır ikili bağıntısının her iki (olumlu veya olumsuz) şeklinin de girmesi olasıdır.

Aşağıda küme aksiyomları listelenmiştir. Bu aksiyomların içerisinde şimdiye kadar tanımlanmamış bazı semboller ve kavramlar bulunmaktadır, bunlar daha sonra tanımlanacaktır. Zaten bu aksiyomları da anlamanız gerekmemektedir.

1. Bütün $x\$’ler için, $x\in A\Leftrightarrow x\in B\$ oluyorsa $A=B\$'dir. (Genişleme Aksiyomu)

2. $A\$ bir küme ise $\left\{x|x\in A\ {\text{ve}}\ x\ ...\right\}\$ bir kümedir. (Burada $...\$, $x\$'in sağlaması istenen herhangi bir şartı gösterir). (Ayırma Aksiyomu)

3. Öyle bir $\varnothing \$ kümesi vardır ki her $x\$ için $x\notin \varnothing \$'dir. (Boş Küme Aksiyomu)

4. $A\$ ve $B\$ birer küme ise $\{A,B\}\$ bir kümedir. (Çiftleme Aksiyomu)

5. $A\$ bir küme ise $\bigcup _{B\in A}B\$ bir kümedir. (Birleşim Aksiyomu)

6. $A\$ bir küme ise ${\mathcal {P}}_{A}\$ bir kümedir. (Kuvvet Kümesi Aksiyomu)

7. $A\$ bir küme ve $B\subset A\$ ise $B\$ bir kümedir. (Alt Küme Aksiyomu)

8. $f:A\to B\$ bir örten fonksiyon ve A bir küme ise B bir kümedir. (Yerine Koyma Aksiyomu)

9. $A\neq \varnothing \$ ise $A\cap B=\varnothing \$ olacak şekilde bir $B\in A\$ vardır. (Düzenlilik Aksiyomu)

10. Öyle bir $\mathbb {N} \$ kümesi vardır ki, $\varnothing \in \mathbb {N} \$ ve her $x\in \mathbb {N} \$ için $x\cup \{x\}\in \mathbb {N} \$. (Sonsuzluk Aksiyomu)

Görüldüğü gibi kümelerin aksiyomlaştırılması kolay değildir. Üstelik bu aksiyomlaştırma tek değildir, gerçekten de yukarıdaki aksiyom sistemi en yaygın olan değil, seviyesi basitleştirilmiş bir sistemdir ve içerisinde gereksiz olan (yani sistemden çıkarıldığında geride kalan aksiyomlar tarafından zaten elde edilebilen) aksiyomlar bulunmaktadır, öyle ki aynı sistemi yalnızca bunlardan 6'sını kullanarak kurmak mümkündür.

Daha önce belirtildiği gibi bu aksiyomlarla kümelerin temel özelliklerini ispatlamak kolay değildir ve burada yalnızca genel kültür ve motivasyon açısından aksiyomların ifadesi sunulmuştur. Yine aynı amaçla, buraya kadar gelmişken kümenin bu aksiyomlara göre tanımını vereceğiz.

Küme tanımını vermeden önce hatırlatmamız gereken bir nokta, yukarıdaki aksiyomlarda kullanılan $x\$’in bir küme değil, küme olup olmadığı bilinmeyen bir nesne olduğudur. Bu tür bir nesnenin küme olma tanımı şöyledir;

Tanım : Eğer $x\in y\$ olacak şekilde bir $y\$ nesnesi varsa, $x\$’e bir küme denir.

Tanım biraz şaşırtıcı, belki de sezgisel olarak terstir, ancak doğrudur ve küme teorisini adım adım kurmak için yeterlidir. Matematikte bir $A\$ kümesi ile karşılaştığımızda, bu kümenin elemanlarını düşünmemiz gerekir. Hâlbuki küme olma tanımında $A\$’nın elemanları hakkında hiçbir şey söylenmemiş ve yalnızca bir $A\$ kümesinin bir kümenin elemanı olduğu belirtilmiştir.

Buna göre $A\$ bir küme ise $A\in x\$ olacak şekilde bir $x\$ nesnesi vardır. Ancak $x\$’in küme olması şart değildir, küme olmayı sağlamayan bir nesne de olabilir. Diğer taraftan $A\$ bir küme ve $a\in A\$ ise bu tanıma göre kesinlikle $a\$ da bir kümedir, ama $a\$ kümesi hakkında bir bilgiye sahip olmadığımızda, çalışmalarımızda $a\$’nın basit bir eleman olduğunu kabul etmekte sorun yoktur.

Bu başlığı küme ile akraba bazı yapıları ve bunlar için kullanacağımız standart notasyonu vererek tamamlayacağız.

Bundan böyle, aksini gerektiren özel bir durum olmadıkça kümeler genellikle $A,B,C,D\$ gibi büyük Lâtin harfleriyle, her ne kadar yukarıdaki tartışmadan her birinin başlı başına birer küme olduklarını bilsek de, bir kümenin elemanları $a,b,c,d\$ gibi küçük Lâtin harfleriyle gösterilecektir.

Yukarıda karşılaştığımız, küme olup olmadığı belli olmayan nesnelere, küme teorisinde sınıf adı verilir. Kümeler aynı zamanda birer nesne olduğundan her küme aslında bir sınıftır. Bununla birlikte çalışmalarımızda elemanlarının elemanları hakkında bilgi sahibi olduğumuz nesnelerden bahsederken sınıf yerine genellikle aile sözcüğünğü kullanacağız. Buna göre bir aile, elemanları iyi bilinen kümelerin kümesidir ve aileleri ${\mathcal {A,B,C,D}}\$ gibi süslü büyük harflerle göstereceğiz. Küme aileleri bu bölümde daha sonra incelenecektir.

Her nesne, yani diğer adıyla sınıf, bir küme olmayabilir gerçeğini akılda tutarak aşağıdaki tanımı verelim;

Tanım : ${\mathcal {E}}=\{A|A\ bir\ k{\ddot {u}}me\}\$ evrensel sınıf olarak adlandırılır.

Buna göre evrensel sınıf bütün kümeleri içeren sınıftır. Küme aksiyomlarının bazı belirsiz durumları nasıl açıklayabildiğine örnek olarak aşağıdaki basit teoremi ispatlıyoruz.

Teorem : Evrensel sınıf küme değildir.

Kanıt : Boş küme aksiyomundan bir $\varnothing \$ kümesinin varlığını biliyoruz. ${\mathcal {E}}\$ evrensel sınıfının bir küme olduğunu kabul edelim. Bu durumda çiftleme aksiyomundan $\{{\mathcal {E}},\varnothing \}\$ de bir kümedir. Alt küme aksiyomundan, bu kümenin alt kümesi olan $\{{\mathcal {E}}\}\$ de bir küme olur. $\{{\mathcal {E}}\}\$ boş olmayan bir küme olduğundan düzenlilik aksiyomuna göre, öyle bir eleman içermelidir ki, $\{{\mathcal {E}}\}\$ ile kesişimi $\varnothing \$ olsun. $\{{\mathcal {E}}\}\$'nin tek elemanı ${\mathcal {E}}\$'dir. ${\mathcal {E}}\$'nin bir küme olduğunu kabul ettiğimizden ve ${\mathcal {E}}\$ bütün kümelerin kümesi olduğundan ${\mathcal {E}}\in {\mathcal {E}}\$ olmalıdır. Bu durumda ${\mathcal {E}}\in \{{\mathcal {E}}\}\cap {\mathcal {E}}\neq \varnothing \$ olup düzenlilik aksiyomuyla çelişkiye düşülmüş olur. Dolayısıyla ${\mathcal {E}}\$'nin bir küme olduğu şeklindeki kabulümüz doğru olamaz.

Böylece evrensel sınıfın, yukarıda aksiyomlaştırdığımız küme tanımına uygun düşmediğini görmüş olduk. Bu yüzden evrensel sınıf bir küme değildir, başka bir deyişle mutlak evrensel küme diye bir şey yoktur.

Küme aksiyomları da kümelerle ilgili bütün soruları açığa kavuşturmaz. Bunun için bunlara eklemeler yapıldığı olmuştur. İleride seçme aksiyomu olarak adlandırılan bir aksiyomdan ve yine özünden birer aksiyom olan sürey hipotezlerinden bahsedeceğiz. Ancak gerçek şudur ki ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim bütün belirsizlikleri açığa kavuşturacak bir sistem inşa edemeyiz. Bu gerçeği Gödel, eksiklik teoremleri adı verilen teoremleriyle kanıtlamıştır.