Topoloji/Seçme Aksiyomu

Daha önce Kümeler bölümünde listelediğimiz küme aksiyomları kümeler hakkındaki bütün önermeleri varsayımlar ile sonuca ulaştırmak için yeterli değildir. Sürekli olarak yeni aksiyomlar eklenerek teorinin temelleri sağlamlaştırılmaya devam edilse bile, sonlu sayıdaki aksiyomlar ile mümkün olan her sorunun “doğru” veya “yanlış” şeklinde kesin bir cevaba sahip olmayacağı anlaşılmıştır. Kümeler teorisinin çalışılmasına devam edildikçe yer yer (doğru veya yanlış) herhangi bir cevabı bulunmayan sorularla karşılaşılmakta ve bu sorunun cevabının ne olması isteniyorsa ona göre yeni bir aksiyom kümeler teorisine eklenebilmektedir.

Boş kümeyi içermeyen ve içerisindeki bütün kümeler birbirinden ayrık (yani ikişerli kesişimleri boş) olan bir ${\mathcal {A}}\$ ailesini ele alalım. Bu ${\mathcal {A}}\$ ailesindeki her bir kümeden birer eleman seçerek yeni bir küme oluşturabilir miyiz? Örneğin ${\mathcal {A}}\$’nın $\mathbb {R} \$ reel sayılar kümesinin boş olmayan bazı alt kümelerini içeren ve içerdiği alt kümelerin hepsi birbirinden ayrık olan bir sınıf olduğunu kabul edelim. Bu durumda $A,B\in {\mathcal {A}}\$ olduğunda $A,B\subset \mathbb {R} \$ ve $A\neq B\$ için $A\cap B\neq \varnothing \$ diyebiliriz. Acaba bu sınıftaki kümelerin hepsinden yalnızca birer eleman seçerek yeni bir $C\$ kümesi oluşturabilir miyiz?

Bu sorunun cevabı, ne “evet” ne de “hayır”dır. Aslında kümelerden (ne olduğu fark etmeden) herhangi bir eleman seçilmesi yeterliymiş gibi görünmektedir ama bu seçimin nasıl yapılacağıyla ilgili hiçbir genel kriter oluşturulmasının mümkün olmadığı bilinmekte ve böyle bir rasgele seçimin bazen olanaklı olamayabileceğine inananlar çıkabilmektedir. Bu konu hakkında genel kabul görecek bir yorum yapmak imkânsızdır çünkü bu önerme mevcut küme teorisi yardımıyla ne ispatlanabilir ne de bu önermenin yanlış olduğu gösterilebilir. Bu soru küme aksiyomları yardımıyla ulaşılamayacak bir yerde bulunmaktadır. Bu durumdan kurtulmanın yolu ise kabulde bulunmak, yani bu önerme “doğrudur” veya “yanlıştır” şeklinde tercihe kalmış bir ön karar vermektir.

Bu bölüm içerisinde bu tür “açık” önermelerin başka örnekleriyle de karşılaşacağız. Ancak Seçme Aksiyomu’nun topolojide çok önemli bir yeri vardır. Yapılacak birçok ispatta Seçme Aksiyomu’nun doğru olduğu kabul edilerek sonuca ulaşılacaktır. Özellikle ezici bir çoğunluğa göre topolojinin en önemli teoremi sayılan teoremin ispatı tamamen, az sonra ifade edeceğimiz Seçme Aksiyomu’na bağlıdır.

Tanım : ${\mathcal {A}}=\{A_{i}\}_{i\in I}$ boş olmayan kümelerin bir sınıfı olsun. Her $i\in I\$ için $f(i)\in A_{i}\$ olacak şekildeki bir $f:I\to \bigcup _{i\in I}A_{i}\$ fonksiyonuna seçme fonksiyonu adı verilir.

Seçme Aksiyomu : Boş olmayan kümelerden oluşan her aile için, en az bir seçme fonksiyonu vardır.

Seçme Aksiyomu’nun, seçme fonksiyonunu kullanmayan denk bir ifadesi de mevcuttur.

Seçme Aksiyomu : ${\mathcal {A}}=\{A_{i}\}_{i\in I}\$ boş olmayan ayrık kümelerin bir ailesi ise her $i\in I\$ için $B\cap A_{i}\$ kümesi tek elemandan oluşacak şekilde bir $B\$ kümesi vardır.

Seçme aksiyomunun bu kitapta belirtmeyeceğimiz başka birçok denk ifadesi bulunmaktadır. Bunun yanında bu bölümde karşımıza çıkacak “herhangi sayıdaki boş olmayan kümelerin çarpımının boş olmaması”, “üçe ayırma kuralı”, “Zorn Lemması”, “Zermelo Teoremi” veya ilerleyen bölümlerde karşılaşacağımız “kümelerin kapanışının çarpımının çarpımının kapanışına eşit olması”, “kompakt uzayların çarpımının kompakt olması” gibi teoremler aslında seçme aksiyomunun denk ifadeleri arasındadır. Seçme aksiyomuna denk olmamakla birlikte, ispatında seçme aksiyomu kullanılan teoremlerin altında bu durum belirtilmeye çalışılmıştır.

Matematikçilerin oldukça büyük bir çoğunluğu Seçme Aksiyomu’nu bir küme aksiyomuymuş gibi kabul eder. Ancak seçme aksiyomunun, diğerlerinden farklı bir tarafı vardır. Seçme aksiyomu, belirli şartlar altında bir şeyin var olduğunu söyler, ancak onu bulmamız için bir yol göstermez. Gerçekten Seçme Aksiyomu sayesinde öyle kümelerin varlığı gösterilebilir ki, varlığı bilinmesine rağmen o kümeleri bulmak veya oluşturmak mümkün değildir. Hatta Seçme Aksiyomu yardımıyla sonuçları mantığa aykırıymış gibi görünen, bunun ötesinde sezgisel aldanmalardan dolayı paradoks olarak da nitelendirilebilen ilginç ve anormal teoremlerin ispatlandığı da olmuştur. Bunlardan en ünlüsü Banach-Tarski Teoremi'dir. Bu teoreme göre bir küre verildiğinde bu küre öyle birkaç parçaya ayrılabilir ki parçalar yalnızca döndürülüp hareket ettirildikten sonra uygun şekilde bir araya getirildiklerinde, baştaki küreyle aynı boyutta iki küre elde edilebilir. Yani bu teorem özetle; bir nesne doğru şekilde parçalara ayrılıp birleştirildiğinde aynı nesneden iki tane elde edilebileceğini ifade eder ve seçme aksiyomunun yardımıyla matematiksel bir doğru olarak ispatlanmıştır. Bu ve benzeri sebeplerden dolayı, günümüzde artık az sayıda kalmış da olsa, Seçme Aksiyomu’nu reddeden matematikçiler de bulunmaktadır.